2.3　课后练习题详解

1假设某种商品的需求曲线是Q＝300－2P＋4I，其中，I为以千美元计量的收入。供给曲线是Q＝3P－50。

（1）如果I＝25，求出这种商品的市场出清价格和数量。

（2）如果I＝50，求出这种商品的市场出清价格和数量。

解：（1）当I＝25时，该商品的需求曲线为：Q＝300－2P＋100＝400－2P；

市场出清条件为该商品的供给和需求相等，需求曲线和供给曲线相交之点便是均衡点，即有：400－2P＝3P－50。从而解得市场出清的价格为：P＝90；市场出清的数量为：Q＝400－2×90＝220。

（2）当I＝50时，该商品的需求曲线为：Q＝300－2P＋200＝500－2P；

市场出清条件为该商品的供给和需求相等，需求曲线和供给曲线相交之点便是均衡点，即有：500－2P＝3P－50。从而解得市场出清的价格为：P＝110；市场出清的数量为：Q＝500－2×110＝280。

2考虑一个竞争性市场，在不同的价格下，其需求量和供给量（每年）如下表所示：

（1）当价格为80美元和100美元时，分别计算需求价格弹性。

（2）当价格为80美元和100美元时，分别计算供给价格弹性。

（3）均衡价格和均衡数量是多少？

（4）假设政府制定了一个80美元的最高限价，该市场是否存在短缺，如果存在，短缺有多大？

解：（1）需求价格弹性是需求变动百分比与价格变动百分比的比值，即：

E_P＝（ΔQ_D/Q_D）/（ΔP/P）＝（P/Q_D）·（ΔQ_D/ΔP）

因为价格每提高20美元，需求会减少两百万，所以：

ΔQ_D/ΔP＝（－2）/20＝－0.1

当P＝80时，需求量为20，此时，E_P＝80/20×（－0.1）＝－0.40。

当P＝100时，需求量为18，此时，E_P＝100/18×（－0.1）＝－0.56。

（2）供给弹性公式为：

E_S＝（P/Q_S）·（ΔQ_S/ΔP）

因为价格每提高20美元，供给会增加两百万，所以：

ΔQ_S/ΔP＝2/20＝0.1

当P＝80时，供给量为16，此时，E_S＝（80/16）×0.1＝0.50。

当P＝100时，供给量为18，此时，E_S＝（100/18）×0.1＝0.56。

（3）在给定的价格条件下，供给和需求的数量相等时即达到供需的均衡点。由表中可以看出，均衡的价格是P＝100（美元），数量是Q＝18（百万）。

（4）如果政府制定一个80美元的限价，则会出现短缺。因为从表中可以看出，当P＝80时，需求量为20百万，而供给量只有16百万，所以将出现4百万的短缺。

3参见（教材中）例2.5的小麦市场。1998年，美国对小麦的需求是Q_D＝3244－283P，且本国的供给是Q_S＝1944＋207P。假设在1998年底，巴西和印度尼西亚向美国开放了它们的小麦市场。如果这些新开放的市场使得美国小麦的需求增加了200百万蒲式耳，小麦市场的完全竞争价格是多少？美国农民生产和出售的小麦数量是多少？（价格的单位是美元/蒲式耳；数量以百万蒲式耳/年为单位。）

解：如果巴西和印度尼西亚购买200百万蒲式耳美国小麦，那么将会产生新的需求曲线Q_D′，Q_D′＝Q_D＋200＝3444－283P，而此时小麦的供给曲线没有变动。令需求等于供给，可求得新的均衡点：

3444－283P＝1944＋207P

解得：均衡价格P≈3.06（美元/蒲式耳）。

将P≈3.06代入供给或需求函数，可得均衡数量Q≈2578（百万蒲式耳/年）。

4一种植物纤维在一个竞争性世界市场上进行交易，世界市场的价格是9美元/磅。在该价格下，美国可以得到无限多的进口商品。在不同价格水平下美国国内市场的供给和需求如下表所示：

（1）求出需求方程和供给方程。

（2）价格为9美元时，需求价格弹性是多少？价格为12美元时呢？

（3）价格为9美元时，供给价格弹性是多少？价格为12美元时呢？

（4）在自由市场上，植物纤维在美国的价格是多少？此时的进口数量是多少？

解：（1）设需求方程为Q_D＝a－bP，斜率－b＝ΔQ_D/ΔP＝－6/3＝－2，故Q_D＝a－2P。

将表中任意一对价格和国内需求的数值代入Q_D＝a－2P，得a＝40；

因此，需求方程为：Q_D＝40－2P。

设供给方程为Q_S＝c＋dP，斜率d＝ΔQ_S/ΔP＝2/3，故Q_S＝c＋2P/3。

将表中任意一对价格和国内供给的数值代入Q_S＝c＋2P/3，得c＝0；

因此，供给方程为：Q_S＝2P/3。

（2）价格为9美元时，需求价格弹性为：E_P＝（P/Q_D）·（ΔQ_D/ΔP）＝9/22×（－2）＝（－18）/22＝－0.82。

价格为12美元时，需求价格弹性为：E_P＝（P/Q_D）·（ΔQ_D/ΔP）＝12/16×（－2）＝（－24）/16＝－1.5。

（3）价格为9美元时，供给价格弹性为：E_S＝（P/Q_S）·（ΔQ_S/ΔP）＝（9/6）×（2/3）＝1。

价格为12美元时，供给价格弹性为：E_S＝（P/Q_S）·（ΔQ_S/ΔP）＝（12/8）×（2/3）＝1。

（4）在无贸易限制条件下，美国市场的价格将等于世界市场的价格，即9美元/磅。在这一价格水平下，国内供给为Q＝2P/3＝6，而国内需求为22，因此进口量为22－6＝16（百万磅）。

5对美国农产品的需求很多是来自其他国家。如在1998年，小麦的总需求是Q＝3244－283P。其中美国国内的需求是Q_D＝1700－107P，国内的供给是Q_S＝1944＋207P。假设小麦的出口需求下降了40%。

（1）美国农民注意到出口需求下降了，这对于美国小麦市场的竞争价格会产生什么影响？农民有理由担心吗？

（2）现在假设美国政府想要购买足够的小麦，以使价格上升至3.50美元/蒲式耳。如果没有出口需求，政府需要购买多少小麦？政府的购买行为需要支付多少货币？

解：（1）令总需求等于国内供给，可求得小麦市场的最初均衡价格和数量：

3244－283P＝1944＋207P

解得：P≈2.65（美元）。

将P≈2.65代入总需求或供给函数，可得均衡数量Q＝2492.55（百万蒲式耳），总收益PQ＝2.65×2492.55≈6605.26（百万美元），即约66.05亿美元。

对小麦的国外需求Q_F＝Q－Q_D＝（3244－283P）－（1700－107P）＝1544－176P。

小麦的出口需求下降了40%以后：

总需求Q′＝Q_D＋0.6Q_F＝（1700－107P）＋0.6×（1544－176P）＝2626.4－212.6P。

此时再令总需求等于国内供给，可求得出口需求下降40%后的均衡价格和数量：

2626.4－212.6P＝1944＋207P

解得：P≈1.63（美元）。

将P≈1.63代入总需求或供给函数，得均衡数量Q≈2281.41（百万蒲式耳），总收益是PQ＝1.63×2281.41≈3718.70（百万美元），即约37.19亿美元。

将出口需求变化前后两组数据作比较可知，美国自由市场上的小麦价格将从2.65美元减至1.63美元，美国农民的收益从66.05亿美元降低到37.19亿美元，这将引起美国农民的担忧。

（2）政府将价格提高至3.50美元，市场上小麦的供给量Q_S＝1944＋207×3.5＝2668.5（百万蒲式耳）；由题目所给条件，不考虑出口需求，故总需求＝国内需求＝Q_D＝1700－107P＝1700－107×3.5＝1325.5（百万蒲式耳）。市场上供大于求的数量为Q_S－Q_D＝2668.5－1325.5＝1343（百万蒲式耳），政府每年购得1343百万蒲式耳的小麦。

美国政府为购买这些小麦，每年需要付的金额为：1343×3.5＝4700.5（百万美元）。

6纽约市的房租控制机构发现，总需求是Q_D＝160－8P，其中数量以万间套房为单位；而价格（即平均月租金水平）则以百美元为单位。该机构还注意到，在P较低时，Q的增加是因为有更多的三口之家从长岛进入该市，从而需要住房。市房地产经纪人委员会承认，房租控制机构得到的总需求方程是较好的需求估计值，并且他们认为住房的供给为Q_S＝70＋7P。

（1）如果房租控制机构与该委员会在需求和供给上的观点都是正确的，自由市场的价格是多少？如果该机构设定一个300美元的最高平均月租金，且所有未找到住房的人都离开纽约市，那么纽约市人口的变动会是怎样的呢？

（2）假设该机构迎合了该委员会的愿望，且对于所有住房都设定一个900美元的月租金，以给房东一个“公平的”回报率。如果套房长期性供给增长的50%来自新建筑，那么需要建造多少住房？

解：（1）在自由市场条件下，令需求等于供给可求得均衡的价格和数量：

160－8P＝70＋7P

解得：P＝6（百美元）。

将P＝6代入需求或供给函数，可得均衡数量为Q＝112（万间套房）。

在自由市场条件下，平均月租金将为600美元，此时有112万间套房出租。

如果房租控制机构将最高平均月租金设定在300美元，因为租金太低，房东愿意提供的供给量Q_S＝70＋7×3＝91（万间套房）。如果以三口之家来计算，那么将有（112－91）×3＝63（万人口）离开城市，如图2.11所示。

图2.11　房屋的供求分析

（2）当月租金设定为900美元时，住房的需求量为Q_D＝160－8×9＝88（万间套房），与自由市场条件下均衡数量112万间套房相比，减少了24万间套房的需求。因此，不需要建造住房。

72010年美国人消费了3150亿支香烟，合157.5亿包。香烟的每包零售价（含税）大约平均为5美元。统计研究表明，需求的价格弹性是－0.4，供给的价格弹性是0.5。

（1）根据这些消息，请推导香烟市场的线性需求曲线和供给曲线。

（2）1998年，美国人共消费了235亿包香烟，每包零售价2美元。1998～2010年，香烟消费下降的部分原因是人们更多地认识到吸烟对健康的危害，部分原因是价格的上升。假设消费下降的所有原因都是价格上升，你可以推断出需求价格弹性具有什么特征吗？

解：（1）设香烟市场的需求方程为Q_D＝a－bP。由题意可知，香烟的需求价格弹性为E_P^D＝（P/Q_D）·（ΔQ_D/ΔP）＝－0.4，根据题意可知2010年的平均消费量157.5亿包，则：

－0.4＝（5/157.5）×（ΔQ_D/ΔP）

ΔQ_D/ΔP＝－0.4×（157.5/5）＝－12.6＝－b

将P＝5时，Q_D＝157.5代入Q_D＝a－12.6P；

即157.5＝a－12.6×5，解得：a＝220.5。

所以，需求方程为Q_D＝220.5－12.6P。

设香烟市场的供给方程为Q_S＝c＋dP，由题意可知，香烟的供给价格弹性为E_P^S＝（P/Q_S）·（ΔQ_S/ΔP）＝0.5，即：

0.5＝（P/Q_S）·（ΔQ_S/ΔP）＝（5/157.5）·（ΔQ_S/ΔP）

ΔQ_S/ΔP＝0.5×（157.5/5）＝15.75＝d

将P＝5，Q_S＝157.5代入Q_S＝c＋15.75P；

即157.5＝c＋15.75×5，解得：c＝78.75。

所以，供给方程为：Q_S＝78.75＋15.75P。

（2）ΔQ＝157.5－235＝－77.5，ΔP＝5－2＝3，P(＿)＝（2＋5）/2＝3.5，Q(＿)＝（157.5＋235）/2＝196.25，因此需求价格弹性为：

E_P＝（P(＿)/Q(＿)）·（ΔQ/ΔP）＝（3.5/196.25）×（－77.5/3）＝－0.46

需求价格弹性的绝对值小于1，故香烟需求是缺乏弹性的。

8在（教材）例2.8中，通过2.6节中推导出来的线性供给曲线和需求曲线，我们研究了铜的需求量下降20%对铜价的影响。假设铜需求的长期弹性是－0.75，而非－0.5。

（1）如前假定，均衡价格和数量为P^*＝3美元/磅，Q^*＝18百万公吨/年，推导出与更小的需求弹性相一致的线性需求曲线。

（2）运用这一需求曲线，重新计算铜的需求下降20%对铜价的影响。（注：铜的供给曲线为Q_S＝－9＋9P。）

解：（1）假设线性需求曲线：Q_D＝a－bP。

在线性需求曲线中，E_D＝－b·（P^*/Q^*），而这里E_D＝－0.75，P^*＝3，Q^*＝18，所以：－0.75＝－b×（3/18），解得b＝4.5。

将b＝4.5，P^*＝3，Q^*＝18代入需求曲线中，有：18＝a－4.5×3，解得a＝31.5。

所以需求的弹性为－0.75时，线性需求曲线为：Q_D＝31.5－4.5P。

（2）当铜的需求下降20%时，新的需求曲线为：

Q_D′＝0.8Q_D＝0.8×（31.5－4.5P）＝25.2－3.6P

令需求等于供给，得：25.2－3.6P＝－9＋9P，解得：P＝2.71。

即当铜的需求量下降20%时，铜价从3.00美元/镑下降到2.71美元/镑，每磅价格下降了29美分，下降了（0.29/3）×100%≈9.7%。

9我们在例2.8讨论了近几年铜的全球需求的增加，部分归因于中国不断上升的消费。

（1）利用初始的需求弹性和供给弹性（即E_S＝1.5且E_D＝－0.5），计算铜的需求增加20%对铜价的影响。

（2）计算该需求增加对均衡产量Q^*的影响。

（3）正如我们在例2.8中讨论的，美国铜产量在2000～2003年下降了。计算铜的需求增加20%（在（1）部分你做的）且铜的供给下降20%对均衡价格和产量的影响。

解：（1）原先的需求函数为Q_D＝27－3P；供给函数为Q_S＝－9＋9P。即原来的供给均衡为：P^*＝3，Q^*＝18。

需求上升20%意味着新需求是原先需求的120%，因此新的需求函数为：

Q_D′＝1.2Q_D＝1.2×（27－3P）＝32.4－3.6P

当新的需求等于原先供给时达到新的均衡，令Q_D′＝Q_S，即：

32.4－3.6P＝－9＋9P

解得新的均衡价格为：P^*＝3.29。

所以，需求增加20%使得价格上升29美分，即上升9.7%。

（2）将新的均衡价格3.29美元代入供给函数得到新的均衡产量为

Q^*＝－9＋9×3.29＝20.61（百万公吨/年）

所以，需求增加20%使产量增加了2.61百万公吨，即上升了14.5%。

（3）当铜的供给下降20%意味着新的供给是原先供给的80%，所以新的供给函数为：

Q_S′＝0.8Q_S＝0.8×（－9＋9P）＝－7.2＋7.2P

当Q_D′＝Q_S′时达到新的均衡，即：

32.4－3.6P＝－7.2＋7.2P

解得新的均衡价格为P^*＝3.67，新的均衡产量为Q^*＝－7.2＋7.2×3.67≈19.22（百万公吨/年）。

所以当需求增加20%并且供给下降20%时，相对原先的均衡点，价格会上升67美分/磅，上升22%，产量上升1.22（百万公吨/年），上升6.8%。

10（教材）例2.9分析了世界石油市场。利用该例所提供的数据：

（1）证明短期需求曲线和竞争性供给曲线的确是如下形式：

D＝33.6－0.02P

S_C＝18.05＋0.012P

（2）证明长期需求曲线和竞争性供给曲线的确是如下形式：

D＝41.6－0.12P

S_C＝13.3＋0.071P

（3）例2.9我们考察了沙特阿拉伯石油减产对价格的影响。假设由于沙特开发了新油田，从而欧佩克产量每年增加20亿桶。计算石油产量增加对短期和长期石油供给的影响。

答：（1）假设供给方程为：S_C＝c＋dP，非欧佩克的供给S_C＝Q^*＝19；

由E_S＝0.05，P^*＝80，且E_S＝d·（P^*/Q^*），得：d＝0.012。

将d，S_C和P代入供给方程，得c＝18.05。

即短期供给曲线为：S_C＝18.05＋0.012P。

同理，假设需求方程为：D＝a－bP。因为Q_D＝32，E_D＝－b（P^*/Q^*），可得b＝0.02。

将b，Q_D＝32和P^*＝80代入需求方程，得：32＝a－0.02×80，解得：a＝33.6。

即短期需求曲线为：D＝33.6－0.02P。

（2）由E_S＝0.3，E_D＝－0.3，E_S＝d·（P^*/Q^*），E_D＝－b·（P^*/Q^*），得：

0.3＝d×（80/19）

－0.3＝－b×（80/32）

解得：d＝0.071，b＝0.12。

S_C＝c＋dP，即：19＝c＋0.071×80，解得：c≈13.3。

D＝a－bP，即：32＝a－0.12×80，解得：a＝41.6。

即长期供给曲线和需求曲线分别为：S_C＝13.3＋0.071P；D＝41.6－0.12P。

（3）欧佩克年产量从130亿桶增加到150亿桶以后，将这150亿桶加到短期和长期供给方程中：

S_T^t＝15＋S_C＝15＋18.05＋0.012P＝33.05＋0.012P

S_T^tt＝15＋S_C＝15＋13.3＋0.071P＝28.3＋0.071P

分别令短期供给等于短期需求、长期供给等于长期需求，得：

33.05＋0.012P＝33.6－0.02P

解得：P＝17.19（美元）；

28.3＋0.071P＝41.6－0.12P

解得：P＝69.63（美元）。

欧佩克每年增产20亿桶以后，短期的石油价格是每桶17.19美元；长期的石油价格是每桶69.63美元。

11参见例2.10，该例分析了价格控制对天然气的影响。

（1）利用该例中的数据，证明下述的供给和需求曲线的确描述了2005～2007年的市场：

供给：Q＝15.90＋0.72P_G＋0.05P_O

需求：Q＝0.02－1.8P_G＋0.69P_O

式中，P_G和P_O分别是天然气和石油的价格。

另外请证实，如果石油价格为50美元，这些曲线意味着天然气的自由市场价格为6.40美元。

（2）假设天然气的调控价格是4.50美元/千立方英尺，而非3美元/千立方英尺，那么超额需求会是多少呢？

（3）假设天然气的市场并没有受到调控，如果石油价格从50美元涨至100美元，那么天然气的自由市场价格又将会发生什么变化呢？

证明：（1）假设供给函数是：Q＝a＋bP_G＋cP_O；

那么，供给的价格弹性E_S＝（ΔQ_G/Q_G）/（ΔP_G/P_G）＝（ΔQ_G/ΔP_G）·（P_G/Q_G）＝b·（P_G/Q_G）；

将E_S＝0.2，均衡状态下P_G＝6.4，Q_G＝23代入上式，得0.2＝6.4b/23，即b＝0.72。

供给的交叉价格弹性E_GO＝（ΔQ_G/Q_G）/（ΔP_O/P_O）＝（ΔQ_G/ΔP_O）·（P_O/Q_G）＝c·（P_O/Q_G）；

将E_GO＝0.1，均衡状态下P_O＝50，Q_G＝23代入上式，得0.1＝50c/23，即c＝0.05。

将b＝0.72，c＝0.05，P_G＝6.4，P_O＝50和Q_G＝23代入供给函数，得23＝a＋0.72×6.4＋0.05×50，即a＝15.9。

所以供给函数是：Q＝15.9＋0.72P_G＋0.05P_O。

同理，假设需求函数是：Q＝d＋eP_G＋fP_O；

那么，需求的价格弹性E＝（ΔQ_G/Q_G）/（ΔP_G/P_G）＝（ΔQ_G/ΔP_G）·（P_G/Q_G）＝e·（P_G/Q_G）；

将E＝－0.5，均衡状态下P_G＝6.4，Q_G＝23代入上式，得－0.5＝6.4e/23，即e＝－1.8。

需求的交叉价格弹性E_GO＝（ΔQ_G/Q_G）/（ΔP_O/P_O）＝（ΔQ_G/ΔP_O）·（P_O/Q_G）＝f·（P_O/Q_G）；

将E_GO＝1.5，均衡状态下P_O＝50，Q_G＝23代入上式，得1.5＝50f/23，即f＝0.69。

将e＝－1.8，f＝0.69，P_G＝6.4，P_O＝50和Q_G＝23代入需求函数，得23＝d－1.8×6.4＋0.69×50，即d＝0.02。

所以需求函数是：Q＝0.02－1.8P_G＋0.69P_O。

如果石油价格为50美元，则：

天然气的供给函数为：Q＝15.9＋0.72P_G＋0.05×50＝18.4＋0.72P_G；

天然气的需求函数为：Q＝0.02－1.8P_G＋0.69×50＝34.52－1.8P_G。

令供给等于需求，得：18.4＋0.72P_G＝34.52－1.8P_G，解得P_G＝6.40（美元）。

这就证实了如果石油价格为50美元，供求曲线的含义是天然气的自由市场价格为6.40美元。

（2）若1975年天然气的调控价格是4.50美元/千立方英尺，P_G＝50美元，那么，

需求：Q_D＝0.02－1.8×4.50＋0.69×50＝26.42

供给：Q_S＝15.9＋0.72×4.50＋0.05×50＝21.64

超额需求量为26.42－21.64＝4.78（千立方英尺）。

（3）如果石油价格从50美元涨至100美元，那么对于天然气来说：

需求：Q_D＝0.02－1.8P_G＋0.69×100＝69.02－1.8P_G

供给：Q_S＝15.9＋0.72P_G＋0.05×100＝20.9＋0.72P_G

令供给等于需求，得：20.9＋0.72P_G＝69.02－1.8P_G，解得P_G＝19.10（美元）。

所以，如果石油价格从50美元涨至100美元，而天然气的市场没有受到调控，那么天然气的价格将从6.40美元涨至19.10美元。

12下表显示的是速溶咖啡和烘焙咖啡的零售价格和销售量。

（1）利用这些数据，估计烘焙咖啡需求的短期价格弹性，并推导烘焙咖啡的线性需求曲线。

（2）估计速溶咖啡需求的短期价格弹性，并推导速溶咖啡的线性需求曲线。

（3）哪种咖啡的短期需求价格弹性大？为什么是这样？

解：（1）设烘焙咖啡的线性需求曲线为Q＝a－bP。为计算烘焙咖啡的短期需求弹性，首先求出烘焙咖啡需求曲线的斜率－b。则

ΔQ/ΔP＝（820－850）/（4.11－3.76）＝－b＝－85.7

因此，

E_P¹＝（P₁/Q₁）·（ΔQ/ΔP）＝（4.11/820）×（－85.7）＝－0.43

E_P²＝（P₂/Q₂）·（ΔQ/ΔP）＝（3.76/850）×（－85.7）＝－0.38

E_P^AVE＝{[（P₁＋P₂）/2]/[（Q₁＋Q₂）/2]}·（ΔQ/ΔP）＝（3.935/835）×（－85.7）＝－0.40

由于－b＝－85.7，且当P＝4.11时，Q＝820。

所以，a＝820＋85.7×4.11＝1172.2，烘焙咖啡需求曲线为Q＝1172.2－85.7P。

（2）设速溶咖啡需求曲线为Q＝c－dP，为计算速溶咖啡的短期需求弹性，首先求出速溶咖啡需求曲线的斜率－d。

ΔQ/ΔP＝（75－70）/（10.35－10.48）＝－d＝－38.5

因此，

E_P¹＝（P₁/Q₁）·（ΔQ/ΔP）＝（10.35/75）×（－38.5）＝－5.31

E_P²＝（P₂/Q₂）·（ΔQ/ΔP）＝（10.48/70）×（－38.5）＝－5.76

E_P^AVE＝{[（P₁＋P₂）/2]/[（Q₁＋Q₂）/2]}·（ΔQ/ΔP）＝（10.415/72.5）×（－38.5）＝－5.53

由于－d＝－38.5，且当P＝10.35时，Q＝75。

所以，c＝75＋38.5×10.35＝473.5，速溶咖啡需求曲线为Q＝473.5－38.5P。

（3）速溶咖啡比烘焙咖啡弹性大得多。烘焙咖啡在短期内弹性很小，是因为人们把烘焙咖啡看作一种必需品，价格的变化不会引起需求的很大变化。然而，很多人把速溶咖啡看成是烘焙咖啡的虽不完美但比较方便的替代品。因此，如果速溶咖啡的价格上升了，人们就不会愿意付更多的钱来购买这种质量较低的替代品，从而使得销售量大量减少。由题可知，速溶咖啡的价格变动幅度小于烘焙咖啡，但消费量减少的幅度却大于烘培咖啡消费量增加的幅度，因此速溶咖啡比烘焙咖啡弹性大得多。