前言
物理学中拓扑概念的早期示例^[1]

杨振宁（C.N.Yang）
高等研究院，清华大学，中国

在20世纪40年代中期，陈省身发表了将高斯-博内定理推广至四维情况的“内蕴证明”的文章。这篇文章引出了陈类和陈数，引发了新的令人兴奋的全局微分几何领域，以及其他数学领域的重要拓扑新概念。数学家安德烈·韦伊(Andrei Weil)对其赞叹不已。他为这篇文章写了一篇热情洋溢的评述，这篇评述极具影响力。

几年之后，在1946—1949年，实验物理学家发现了一些完全出人意料的新型基本粒子。他们不同于现有种类，具有非常不同的量子数，并迅速成为物理学家关注的焦点。

1948年的某一天，我参加一个午餐会，在那里韦伊告诉费米（Fermi），他推测这些新型粒子可能与几何学中的某些拓扑分类思想有关，在场的所有人都没有理解韦伊那跨越数学-物理学边界的猜测所表达的意思。

多年以后，在20世纪70年代中期，当我从吉姆· 西蒙（Jim Simon）那里学到纤维丛几何基础以及相关概念之后，我才意识到那天韦伊也许在推测新型粒子(及其量子数)与拓扑概念（例如陈数） 之间可能存在的关系。有关详细信息，请参阅参考文献[1]^[2]。

在2012年的一篇文章中[2]，我详细地讨论了以下拓扑学早期进入物理领域的情况：

• 阿哈诺夫-玻姆实验于1959年被理论预言，并由外村（Tonomura）于1983—1986年经实验验证。

• 20世纪50年代初期，物理学家们用新型计算机计算晶体的振动频率分布，惊讶地发现在谱线中无法解释的起伏。它们是真实的吗？ 或仅仅是计算巧合？这个困惑在1953年范·霍夫（Van Hove）的一篇论文中得以解决，该论文将拓扑（莫尔斯理论）引入物理学。

现在我们知道那个拓扑概念在物理中非常重要，尤其是涉及阿贝尔或非阿贝尔相位的现象（或问题）。下面这个示例表明，在经典麦克斯韦理论的一个问题中，拓扑已经起到重要作用。

考虑

一个与电荷e和磁荷g均存在相互作用的电磁场。

这是狄拉克在1931年就考虑过的问题[3]。当电磁势（即联络）满足解析连续时，其形成复杂的非平凡流形。作用量积分a仅在模4πeg 的情况下才可定义[4]。

如果我们尝试量子化这个理论，基于费曼路径积分，我们将要处理如下的量：

只有满足如下条件才具有物理意义：

这个条件，首先由狄拉克给出，因此是经典麦克斯韦理论中拓扑的结果。