一、定理发现的标准及其应用

定理发现的标准至少有三个层次。一是特例表述，二是普遍化表述，三是证明。与此对应的是，勾股定理发现的判定标准也至少有这三个层次。

第一，我们容易把“勾三股四径五”看作勾股定理的发现，这有违数学定理的命名原则，第一个层次的特例表述很难看作定理发现。大凡数学定理的命名都不是以具体的特例表达作为原则，比如，所有平面三角形的内角和都是180度，这是一条几何学定理。这一定理并不涉及具体的特例，无论某一个角是170度还是160度，都不影响到所有平面三角形的内角和都是180度的结论。换言之，勾股定理不应当只是（3，4，5）的具体数值，涉及具体数值的特例表述不应当命名为数学定理。

1952年，前辈学者章元龙明确否定特例表述作为定理命名的标准，认为“在没有发现普遍性的假借和设定之前，在一个考据者的立场，万不可根据后来的知识，自己主观的认为既有特殊的假借和设定”，首先，“第一个重要的意义是‘普遍性’”，而不是特例；其次，“第二重要意义是有‘证明’”，完成定理的证明。(1)因此，中国最早的数学典籍《周髀算经》开篇中商高的“勾广三，股修四，径隅五”只是一个特例，它不是普遍化的表述，不可看作勾股定理的最早发现。

第二，按照最严格的，也是最狭义的定理发现标准，只有第三个层次——证明才被看作定理发现。按照这一标准，毕达哥拉斯学派的证明要比勾股定理的证明早四五个世纪，毕达哥拉斯学派晚期实现了定理的证明，“关于毕达哥拉斯派几何里有没有证明这一问题，最合理的结论是：在该学派存在的大部分时间里，他们是根据一些特例来肯定所得的结果的。不过到了学派晚期即公元前400年左右，由于其他方面的发展，证明在数学中所处的地位改变了；所以学派晚期的成员可能作出了合法的证明”。(2)商高和陈子都不符合命名定理的上述条件，三国时期的赵爽完成勾股定理的证明，比毕达哥拉斯学派要晚五个世纪。按照发现优先权的命名原则，勾股定理的提法是不存在的。科学只有第一，没有第二。值得注意的是，倾力于中国科学技术史研究的李约瑟（Joseph Needham）并没有采用勾股定理的称谓，而是使用“毕达哥拉斯定理”称谓，采用了“《周髀算经》中对毕达哥拉斯定理的证明”(3)的提法，将《周髀算经》看作对毕达哥拉斯定理的证明。这或许暗示着，李约瑟相信毕达哥拉斯学派的证明早于赵爽的证明。

把证明作为数学定理的发现，这似乎有违常理。在我们的文化习惯中，更倾向于把普遍性表述看作发现的标准，而很少或者难以接受把证明作为定理发现的标准。这看起来似乎有一定的道理。比如，费马大定理是以定理的发现者命名，而不是以证明者命名。然而，证明作为数学定理的发现，是一个最狭义的标准，也是最强硬和坚决彻底的标准——证明体现着数学的本质，证明体现的是必然性的逻辑演绎过程，普遍性的表述有可能仅仅是经验的归纳。麦克莱伦第三（James E. McClellan Ⅲ）认为：“有关这些发现的更为重要的方面是数学证明在显示那些发现的必然性上所起到的作用。运用演绎推理和证明，即便是最持怀疑态度的挑剔者也会被迫一步一步地同意，最后不得不承认‘证讫’（‘已如此证明过了’）。这种方法是数学、逻辑学和科学的历史上特别值得重视的发明。”(4)

西方数学史家高度重视演绎证明的价值，这似乎是违背我们习惯的做法，但这是古希腊人需要“真理”的表现，也是数学领域毕达哥拉斯定理证明最重要的思想史价值，毕达哥拉斯学派在演绎证明中完成了“了不起的一步”。数学史家克莱因（Morris Kline）认为：“希腊人坚持要演绎证明，这也确是了不起的一步。在世界上的几百种文明里，有的的确也搞出了一种粗陋的算术和几何。但只有希腊人才想到要完全用演绎推理来证明结论。需要用演绎推理的这种决心是同人类在其他一切领域里的习惯做法完全违背的；它实际上几乎象件不合理的事，因为人类凭经验、归纳、类比和实验已经获得了那么多高度可靠的知识。但希腊人需要真理，并觉得只有用无容置疑的演绎推理法才能获得真理。他们又认识到要获得真理就必须从真理出发，并且要保证不把靠不住的事实当作已知。因此他们把所有公理明确说出，并且在他们的著作中采取一开头就陈述公理做法，使之能马上进行批判考察。”(5)

第三，第二个层次的普遍性表述也被看作定理的发现，这是中国学者易于接受的数学定理命名原则，如前叙章云龙的理解，这也是西方学者可以接受的较为宽泛的数学定理命名原则。按照普遍性表述的命名标准，中西关于勾股定理的发现优先权是一个有争议的问题，其分歧在于到底是按照成书年代还是书中人物的年代作为标准。《周髀》卷上之二中，陈子在与荣方的对答中说，“若求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”，这是勾股定理的普遍化形式。如果按照《周髀算经》的成书年代——汉代，迟于古希腊欧几里德（Euclid）的《几何原本》；如果按照《周髀算经》中的人物——陈子的年代，至迟为公元前七或六世纪，大约与古希腊毕达哥拉斯学派早期在同一个时代。按照成书年代还是书中人物的年代为标准，陈子到底是公元前七世纪真有其人还是后世所伪托，由于没有令人信服的历史考察，这是成疑的历史。

把普遍性表述作为数学定理的命名标准，随之带来另外一个问题，定理的普遍性表述一定早于定理的证明吗？伽利略相信，定理的发现早于证明，它构成证明的必要条件。“你可以相信，毕达哥拉斯远在他以百牛祭庆祝他发现一条几何证明之前，早就肯定直角三角形对直角一边（斜边）的平方等于另外两边的平方之和了。结论肯定后，在发现它的证明上是帮助不小的——这里总是指经验科学。”(6)先有证实，后有证明。定理的发现早于证明，这似乎具有逻辑必然性。“所以如此，是因为当结论是真实时，人们就可以使用分析方法探索出一些已经证实的命题，或者找到某种自明的公理；但如果结论是错误时，人们就可以永远探索下去而找不到任何已知的真理——即使不弄到碰壁或者碰上某种明显谬误的话。”(7)

此处的问题是，特例表述需要有证明吗？普遍性表述一定早于定理的证明，它暗含的假定是，特例表述仅仅只是经验的判断，只有普遍性表述才必须证明。然而，很多数学定理的特例表述绝非简单的经验判断，比如，如果勾股数高达万位，甚至更高，这就超越了简单的经验，特例表述很可能有相应的计算或合理理由的说明。