四、无穷思想在伊斯兰世界的发展

和数学的其他分支一样，罗马帝国兴起后，西方数学的重心就从希腊化世界逐渐转移到西亚了。相隔几百年后，在古希腊先贤们留下的宏伟遗迹上，无穷观念在伊斯兰世界的数学研究中大放异彩。其中影响最为深远的古希腊遗产是欧几里德《几何原本》的第10卷，该卷记载了由欧多克索斯严密化的穷竭法原则。此外，阿基米德的两种著作《圆的测量》和《论球与圆柱》也于9世纪被翻译成阿拉伯语（其他著作则很可能不为伊斯兰学者所知）。这些著述成为随后几百年里伊斯兰世界无穷小思想的基础。

伊斯兰数学中的无穷小思想主要是由活跃于公元9世纪，生活在巴格达的穆萨（Banū Mūsā）兄弟及其后学发展起来的。他们的著作《论平面和立体的量度》（Kitāb maʻrifat masāḥat al-ashkāl）不仅开辟了阿拉伯学者研究面积和体积的道路，还是12世纪阿拉伯数学的拉丁化进程所依据的基本典籍之一。该书分为三部分，第一部分涉及圆的量度，第二部分是球，第三部分则试图解决经典的三等分角问题，其所涉问题基本没有超出古希腊学者感兴趣的范畴，但在方法上做出了一些改进。比如在求圆周率时，穆萨兄弟把几何上的计算圆内接和外切正n边形边长转换为三角函数问题，即把，转换为nsin（π/n）<π<ntan（π/n），由于三角函数值可以通过很多已有公式进行计算，因此这比阿基米德的方法更为便捷。(47)

与穆萨兄弟同时代的塔比·伊本·库拉（Thābit Ibn Qurra）也对无穷观念的发展做出了巨大贡献。他在此领域的主要贡献是三篇论文，分别阐述求抛物线分段面积、求抛物形体体积和求圆柱截面面积的方法。在第一篇论文里，库拉提出“抛物线是无限的，但其任何一部分都等于与其底和高相同的平行四边形面积的2/3”，其证明过程实际复活并推广了阿基米德的积分方法，并用它来计算几何级数之和。到这时阿拉伯数学对积分算法已有相当程度的发展。(48)

塔比的探索启迪了一大批伊斯兰数学家。其最杰出的后学当属海什木（Ibn al-Haytham，拉丁名为Alhazen），他在无穷小方面写有12篇论文（现存7篇）。其中前3篇主要讨论半月形和圆形的积分问题，这是对前述古希腊数学家希波克拉底对弓形面积研究的发展。海什木指出，半月形面积与扇形或三角形不同面积的积分有关。他还运用积分方法计算球体面积，并推广了《几何原本》中的定理。此外，在一篇论文中，海什木对源于古希腊的等周问题（及进一步的等表面积问题），即求一已知长度的曲线所围成的最大面积发表了看法。凭借直觉，容易猜测答案是圆（类似的等表面积问题答案应为球），但要作出严格证明却颇有难度。在海什木之前，呼罗珊人哈津（Al-Khāzin）已在这一问题上做了很好的工作，但海什木对之前学者的证明都不满意。他论证了圆是一切周长相等的正多边形面积的极限，而球也应当是一切内接正多面体体积的极限。尽管对后一问题的证明海什木并未最终完成，但他的失败仍是富有启发性的，这被认为是中世纪阿拉伯数学的最重要的成就之一。(49)

最后，对于圆周率，伊斯兰学者主要还是继承了阿基米德的算法。12世纪活动于西班牙的犹太数学家迈蒙尼德（Maimonides）指出，圆周率也是无理数。(50)14世纪服务于中亚兀鲁伯天文台的卡西（Al-Kāshī）计算了圆内接和外切6×227边形时圆周率的近似值为3.14159265358979325，即精确到小数点后17位，这是古代世界里对圆周率计算最精确的值。(51)