三、《周髀算经》的重新解读

第二则新的阐释出自《周髀算经》第一章中的周公与商高的对话。具体如下：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数从安出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一，故折矩也以为勾广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”(13)

传统的认识主要集中在“勾广三，股修四，径隅五”的解读，当前的新研究集中于“既方之外，半其一矩，环而共盘。……是谓积矩”的解读。西北大学曲安京教授综合前辈学者——美国加州大学圣地亚哥分校物理学家程贞一，中国台湾学者陈良佐，中国大陆西北大学学者李继闵——的意见后认为，商高已经给出了勾股定理的一般性证明。“既方其外，半其一矩，环而共盘。……是谓积矩”的证明过程可以分为如下四个步骤：“从图4到图6（参见下图），整个过程与勾股弦三边的具体设定数值是没有关系的。毫无疑问，这是勾股定理的一个严格的证明。而商高以勾三股四弦五为例，演示这个构造性证明的程序，正好符合中算家一贯采用的‘寓理于算’的传统风格，所以说，商高给出的决不仅仅是一则勾股形的特例，事实上，商高已经成功地完成了对勾股定理的一般性证明。”(14)

值得注意的是，上述商高的对话仅有勾股定理的特例表述，没有勾股定理的普遍性表述，却有勾股定理的证明，它不符合伽利略所说的定理发现早于定理证明的观点。换言之，《周髀算经》中上述商高的对话既包括特例表述，又包括定理证明，却没有普遍性表述，是有违“常理”的。此常理应当说是当代的常理，它遵循着先有特例，其次有普遍性表述，然后证明的先后顺序。这是按照当代的观点，或者西方的观点理解中国古代的数学思想。

古代中国的数学未必在所有情况下都遵循着这一原则，它一直采用“寓理于算”的传统思路。上述的“理”（即当代所说的证明）只是给商高所说的“勾广三，股修四，径隅五”提供一个理由，这一个理由不是丈量土地之类的经验意义的证实，它是从学理上给出一个说明。当代的证明往往是针对普遍性的表述给出证明，古代中国的“理”，是大凡一事都应当有一个逻辑的说明。换言之，“勾广三，股修四，径隅五”不是依靠着丈量而出，它是依靠着上述逻辑推论和计算得出的必然性结论。这符合数学本质是证明的思路。

另外一个值得重视的问题是，上述商高关于定理的证明是通过计算而实现的，这是“寓理于算”思路的明显体现（此后三国时期赵爽的证明也是“寓理于算”的类似思路）。

勾2+股2+2×勾×股（两个长方形面积）=正方形面积

径2+2×勾×股（四个三角形面积）=正方形面积

→勾2+股2=径2

与此对照的是，古希腊人的证明不是通过计算得到，他们是通过面积替换的纯粹几何方法（与计算无关）而得到。如下是欧几里德《几何原本》中的证明步骤：(15)

古代中国和古希腊究竟是关于勾股定理的不同证明思路，还是否定另外一种文明的证明思路呢？亚里士多德（Aristotle）在《后分析》第一卷第七章中强调，论证事物不能超越其类的事物作为出发点。“属于几何学的问题，不能用算术来证明。”“从一个种跨到另一个种不可能证明一个事实，例如通过算术证明几何命题。证明有三个因素：（1）有待于证明的结论（它是就自身而归属于某个种的属性）；（2）公理（公理是证明的基础）；（3）载体性的种及其规定即依据自身的属性由证明揭示。如果种互不相同，如算术和几何，即使证明的基础是同一的，算术的证明也不可能适用于量值的属性，除非量值是数目。”(16)如果亚里士多德的观点是正确的，那么中国“寓理于算”的思路本质上不可能完成勾股定理的证明，这实际上取消和否定了整个古代中国的数学传统。不仅《周髀算经》，而且其后三国时期的赵爽，乃至于中国“形数合一”，阻碍了几何原理的证明。这有违古代中国的事实。

算数与几何证明是无关的，这是古希腊的数学证明传统。毕达哥拉斯定理的证明是一个明证，这也是人类思想史领域的重要发展。能够运用几何方法证明代数的结论是一个重要的进展。能够纯粹用几何方法证明几何结论，也是古希腊人对人类数学的贡献。英国哲学家罗素（William Russell）认为：“这就使得希腊的数学家们坚信，几何学的成立必定是独立的而与算学无关。柏拉图（Plato）对话录中有几节可以证明，在他那时候已经有人独立地处理几何学了；几何学完成于欧几里德。欧几里德在第二编中从几何上证明了许多我们会自然而然用代数来证明的东西，例如（a+b）2=a2+2ab+b2。”(17)

承认古希腊的几何与代数分离传统的价值，不应当以否定古代中国数学传统为代价。吴文俊先生认为：“与希腊欧几里德几何的形数割裂者恰恰相反，我国在数学发展过程中自始至终是把空间形式与数量关系融合在一起的，因而数系统的建立与臻于完备，以及代数学的发生发展，也始终与几何学的发展贯穿在一起。到宋元之世天元——也即未知数概念的明确引入，代数式与其代数运算的阐明，以及几何代数化方法的逐渐成熟，更为解析几何的创立开辟了道路。”(18)中国的勾股定理证明不是按照古希腊数学的方式发展，它是按照数形统一的方式进行证明，几何学与算学是联系在一起的。商高的证明如此，赵爽的证明也是如此。

如果承认吴文俊先生的看法是对的，如果承认古代中国数学传统的合理性，那么亚里士多德“算术不可能完成几何证明”的观点也有可能是错误的。亚里士多德错误的原因是，他可以断言自己文明的合理性，强调几何学与代数学分离的重要性，以及纯粹几何学证明的合理性。但是他不能断言其他文明的多元可能性。从逻辑上讲，断言“不可能”，断言“无”，是极其困难的。亚里士多德断言几何命题不可能通过算学证明，这背离了古代中国的具体事实。笔者同意吴先生的判断，应当从古代中国的具体事实出发去理解。古希腊的贡献是重要的，但不是唯一的，甚至也不是唯一的标准。从中国的观点和立场出发，有助于反思古希腊的若干重要观点，甚至能够修正亚里士多德的局部错误，从而发展出一种更为全面、更具有全球性的理解。这是古代中西交流和古代中西比较的重要价值。

站在中国的立场上，我们并没有否定古希腊的价值，而是同时承认多种文化、不同思想传统的价值。这一点是重要的，我们认可古希腊几何学与算学分离的意义，只是我们也同时承认几何学与算学的结合，即“寓理于算”的重要性。