汉诺塔问题：经典谜题中出人意料的教训

认知分析对自身力量的证明

汉诺塔问题正是我的自然主义决策研究团队所避免的人为设计的、基于实验室的任务类型。汉诺塔问题不需要专业知识，不需要背景，也没有不确定性。

然而，几十年前，我做了一项关于人们如何解决汉诺塔问题的小研究。这篇文章是我第一次讲这件事。

我为何要做这项研究呢？因为贪念。

我曾作为分包商参与了一个较大的项目，为铁路工程师及其他一些专业人员开发一套认知测试，以检测如饮酒、药物使用或睡眠不足等损伤迹象（O’Donnell，Moise ＆ Schmidt，2004）。可在项目开始进行后，项目经理就将其引向了与我预期完全不同的方向，我的公司几乎完全参与不进去。然而，项目经理仍然有履行财务合同的义务，继续让我们留在项目中。但我们还能为项目做些什么呢？

项目经理决定将汉诺塔问题作为认知测试的一部分，并突然想到我或许可以做一个认知任务分析，看看人们是如何完成任务的。他拒绝了我的其他建议，所以我要么研究汉诺塔问题，要么和2.5万美元说拜拜。

带着重重疑虑，我决定试一试。

可接下这个任务后，我遇到了个大问题。我没有打算围绕这样一个人为设计的任务进行相关采访，也找不到任何愿意完成这项任务的公司员工。因此，我将注意力转向了公司正在进行的其他项目。

后来，在认知测试项目即将结束之时，项目经理提醒我提交汉诺塔问题的分析结果，可我甚至还未开始。所幸我的公司当时刚雇用了一位研究助理——安德鲁·米尔斯。我把安德鲁叫到办公室，告诉他我有一个完美的训练项目，可以帮他快点儿完成认知采访：在我的帮助下，他可以利用汉诺塔问题完成认知采访。

安德鲁爽快地答应了。

当然，我们见面后，安德鲁便将我的这个安排告诉了公司的其他人，他们告诉安德鲁，“加里终于找到愿意听话的傻瓜了”。结果，当安德鲁开始这个项目时，他的兴奋感明显降低了。

对于不熟悉汉诺塔问题的读者，注意图2.5中的三根柱子。你的任务是把所有甜甜圈形状的圆盘从最左边的柱子，我们称之为A柱，移动到最右边的柱子，C柱。一次移动一个圆盘，必须保持大圆盘在下，小圆盘在上。这项任务不容易，且A柱上的圆盘越多，任务的难度就越大。

在此，建议读者在继续阅读这篇文章之前，自己尝试解一下这个谜题，这样你就明白它的原理了，看看你能不能完成有五六个圆盘的任务。

安德鲁和我商定，将对公司的七个人进行采访，一次一个人。他会看着他们做任务，让对方大声说出来，这样就知道他们想做什么了。如果不确定对方是如何做决定的，他会提问。

安德鲁以为每个人都会以同样的方式解题，和他自己的方法一致。令他惊讶的是，没有哪两个人的解题策略是相同的。有些人的策略要优于其他人。有人只能完成有四五个圆盘的汉诺塔任务，而有些人可以完成有七八个的，甚至九个的。

七轮采访已结束，是时候复盘一下安德鲁采访记录中的发现了。

我们的第一个发现是，参与者纠结的主要决定是一组圆盘中最上面的那个该移到哪里。一旦这个圆盘移到合适的位置，剩下的就会自然而然地跟着移动，此时就搭建出了我们所说的“临时塔”。接下来参与者就面临与之前同样的抉择——将临时塔最顶端的圆盘移到哪里。

我们的第二个发现是，为了解决这个谜题，参与者必须搭建临时塔，部分临时塔要搭在其他柱子上。同样地，这个案例中的参与者依赖用心理模拟来解题，即“如果我把这个圆盘移到那儿，那么接下来的这个圆盘就会移到那儿……”，诸如此类。这种心理模拟策略却并非真正意义上的发现，因为在这个游戏中我们可以依据自己的经验做出同样多的假设。赫伯特·西蒙（1975）将这些临时塔称为“金字塔”，并将这种方法命名为目标递归策略。

第三个发现其实不能算作发现，因为它在文献中已经广为人知，即该策略最大的难题是，在进行心理模拟时记下圆盘的移动轨迹。这种策略会消耗工作记忆，并将能够处理大量圆盘的人和只能处理少量圆盘的人区分开来。科托夫斯基、海斯和西蒙（1985）对不同版本的汉诺塔问题的记忆需求进行了专门的分析。

我们的第四个发现是，即使参与者成功地解开了谜题，他们也常常觉得自己没做对。解决这个难题的唯一方法是在不同的柱子上搭建临时塔，但参与者会说：“这不对。我把塔搭错了地方，这不是我想将所有圆盘搭上去的那根柱子。”由此可见，参与者对如何搭建这些临时塔并没有很好的心理模型。我们还注意到，即使解谜成功，也并不意味着参与者真正明白自己在做什么。

我们的第五个发现是，用一个简单的策略几乎可以消除所有的纠结之处。先考虑最底下的圆盘，而不是最上面的！这才是汉诺塔问题的解题思路。如果所有的圆盘都在最左端的A柱上，而你要将它们全部移到最右端的C柱上，那么你要将最底下的圆盘，即最大的那个，移到C柱上。这是再明白不过的了。

要完成这一步，你就需要在B柱上搭一座临时塔，将第二大的圆盘移到底部。而要完成这一步，你就需要在C柱上以第三大圆盘为底搭一座临时塔。其他步骤依此类推。参与者仍需进行分析，但记忆负担大大减轻，错误也没那么多了。

各位读者可以登录关于汉诺塔问题的网站，试着用这个自下而上的策略解一解这个谜题。

我们从这个项目中得出的结论是，我们能通过研究任务的认知挑战获得以下问题的答案：人们面临的关键决定是什么，是什么让任务变得困难，以及人们心理模型中的弱点是什么。我们还有了意外的收获，即自下而上的解题策略。

据我们所知，之前没人报道过这些发现。

如果一个认知视角可以为一个存在了一个多世纪的谜题带来如此多的发现，那么想象一下，它将为新任务和新需求带来多大的回报。

——2021年3月8日